사분위수
사분위수(Quartile)는 데이터를 크기순으로 정렬했을 때 전체 자료를 네 구간으로 나누는 위치 지표이다. 데이터의 분포, 중앙 위치, 산포, 이상치 여부를 파악할 때 사용되며, 기술통계와 탐색적 데이터 분석에서 자주 활용된다.
사분위수는 전체 데이터를 4등분하는 기준값이다. 데이터를 오름차순으로 정렬한 뒤, 하위 25%, 50%, 75% 지점에 해당하는 값을 구한다.
사분위수는 평균처럼 하나의 중심값만 보는 것이 아니라, 데이터가 어느 구간에 어떻게 분포하는지를 파악하는 데 유용하다. 특히 극단값의 영향을 크게 받는 평균과 달리, 사분위수는 데이터의 위치와 산포를 안정적으로 설명할 수 있다.
사분위수는 일반적으로 세 개의 값으로 표현한다.
| 구분 | 기호 | 의미 | 백분위수와의 관계 |
|---|---|---|---|
| 제1사분위수 | Q1 | 전체 데이터의 하위 25% 지점 | P25 |
| 제2사분위수 | Q2 | 전체 데이터의 하위 50% 지점 | P50 |
| 제3사분위수 | Q3 | 전체 데이터의 하위 75% 지점 | P75 |
제2사분위수는 중앙값과 같다.
각 사분위수의 의미는 다음과 같다.
- Q1
- 데이터의 약 25%가 Q1 이하에 위치한다.
- Q2
- 데이터의 약 50%가 Q2 이하에 위치한다.
- Q3
- 데이터의 약 75%가 Q3 이하에 위치한다.
따라서 Q1과 Q3 사이에는 데이터의 가운데 50%가 포함된다.
사분위수는 일반적으로 다음 절차로 계산한다.
- 데이터를 오름차순으로 정렬한다.
- 중앙값을 구한다.
- 중앙값을 기준으로 하위 절반과 상위 절반을 나눈다.
- 하위 절반의 중앙값을 Q1로 한다.
- 전체 데이터의 중앙값을 Q2로 한다.
- 상위 절반의 중앙값을 Q3로 한다.
단, 데이터 개수가 홀수일 때 중앙값을 하위 절반과 상위 절반에 포함할지 여부는 계산 방식에 따라 달라질 수 있다.
다음 데이터가 있다고 하자.
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90
데이터 개수는 9개이다.
- Q2는 가운데 값인 50이다.
- 하위 절반은 10, 20, 30, 40이다.
- 하위 절반의 중앙값은 25이므로 Q1은 25이다.
- 상위 절반은 60, 70, 80, 90이다.
- 상위 절반의 중앙값은 75이므로 Q3은 75이다.
따라서 사분위수는 다음과 같다.
| 구분 | 값 |
|---|---|
| Q1 | 25 |
| Q2 | 50 |
| Q3 | 75 |
사분위 범위(IQR, Interquartile Range)는 제3사분위수에서 제1사분위수를 뺀 값이다.
IQR = Q3 - Q1
사분위 범위는 데이터의 가운데 50%가 퍼져 있는 정도를 나타낸다.
예를 들어 Q1이 25이고 Q3이 75라면 IQR은 다음과 같다.
IQR = 75 - 25 = 50
IQR이 클수록 데이터의 중간 부분이 넓게 퍼져 있고, 작을수록 중간 부분이 좁게 모여 있다고 볼 수 있다.
사분위수는 이상치를 탐지할 때 자주 사용된다.
일반적으로 다음 기준을 사용한다.
하한 = Q1 - 1.5 × IQR
상한 = Q3 + 1.5 × IQR
이 범위를 벗어나는 값은 이상치 후보로 본다.
| 구분 | 기준 |
|---|---|
| 하한보다 작은 값 | 낮은 쪽 이상치 후보 |
| 상한보다 큰 값 | 높은 쪽 이상치 후보 |
이 방법은 상자 그림에서 이상치를 표시할 때도 사용된다.
상자 그림은 사분위수를 이용하여 데이터 분포를 시각화하는 대표적인 그래프이다.
상자 그림은 일반적으로 다음 요소로 구성된다.
- 최솟값
- 제1사분위수(Q1)
- 중앙값(Q2)
- 제3사분위수(Q3)
- 최댓값
- 이상치
상자의 아래쪽 경계는 Q1, 가운데 선은 Q2, 위쪽 경계는 Q3을 나타낸다. 상자의 길이는 IQR에 해당한다.
사분위수는 백분위수의 특수한 형태이다.
| 사분위수 | 백분위수 |
|---|---|
| Q1 | 25백분위수 |
| Q2 | 50백분위수 |
| Q3 | 75백분위수 |
즉, 사분위수는 데이터를 4등분하고, 백분위수는 데이터를 100등분한다.
사분위수는 평균과 달리 극단값의 영향을 상대적으로 적게 받는다.
| 구분 | 평균 | 사분위수 |
|---|---|---|
| 의미 | 전체 값을 더해 개수로 나눈 중심값 | 데이터를 4등분하는 위치값 |
| 극단값 영향 | 큼 | 상대적으로 작음 |
| 주요 용도 | 전체적인 평균 수준 파악 | 분포, 산포, 이상치 파악 |
| 관련 지표 | 산술평균 | Q1, Q2, Q3, IQR |
예를 들어 소득 자료처럼 일부 극단적으로 큰 값이 있는 경우 평균보다 중앙값이나 사분위수를 함께 보는 것이 데이터 분포를 이해하는 데 더 적절할 수 있다.
사분위수는 다음과 같은 상황에서 활용된다.
데이터의 중심과 퍼짐 정도를 간단히 요약할 수 있다.
IQR을 이용해 정상 범위를 벗어난 값을 찾을 수 있다.
두 집단의 중앙값, IQR, 상자 그림을 비교하여 분포 차이를 확인할 수 있다.
응답시간, 처리시간, 대기시간 등에서 중앙값과 상위 사분위수를 함께 보면 평균만 볼 때보다 분포를 더 잘 이해할 수 있다.
사분위수는 데이터의 분포 형태, 치우침, 이상치 여부를 파악하는 기초 지표로 사용된다.
사분위수 계산 방식은 통계 도구나 교재에 따라 조금씩 다를 수 있다.
차이가 생기는 이유는 다음과 같다.
- 데이터 개수가 홀수일 때 중앙값을 양쪽 절반에 포함하는지 여부
- 위치 계산식을 어떻게 정의하는지 여부
- 보간법을 사용하는지 여부
- 통계 소프트웨어의 기본 옵션 차이
따라서 실무에서는 어떤 도구와 계산 기준을 사용했는지 명시하는 것이 좋다.
분위수는 데이터를 일정한 비율로 나누는 값 전체를 의미한다. 사분위수는 분위수 중 데이터를 4등분하는 경우이다.
| 구분 | 설명 |
|---|---|
| 분위수 | 데이터를 일정한 비율로 나누는 위치 지표의 총칭 |
| 사분위수 | 데이터를 4등분하는 분위수 |
| 백분위수 | 데이터를 100등분하는 분위수 |
중앙값은 제2사분위수와 같다.
| 구분 | 설명 |
|---|---|
| 중앙값 | 데이터를 정렬했을 때 가운데 값 |
| 제2사분위수 | 데이터의 50%가 그 값 이하에 위치하는 값 |
사분위수는 위치를 나타내고, 사분위 범위는 산포를 나타낸다.
| 구분 | 설명 |
|---|---|
| 사분위수 | Q1, Q2, Q3으로 표현되는 위치 지표 |
| 사분위 범위 | Q3 - Q1로 계산되는 산포 지표 |
사분위수를 해석할 때는 다음 사항에 유의한다.
- 계산 방식에 따라 결과가 조금 달라질 수 있다.
- 데이터 개수가 적으면 사분위수 해석이 불안정할 수 있다.
- 사분위수는 데이터의 원인을 설명하지 않고 위치를 설명한다.
- IQR 기준 이상치는 통계적 이상치 후보일 뿐, 반드시 오류 데이터라는 뜻은 아니다.
- 평균, 표준편차, 히스토그램 등 다른 지표와 함께 해석하는 것이 좋다.
사분위수는 통계와 데이터 분석의 기본 위치 지표로, 기술통계량과 탐색적 데이터 분석에서 자주 다루어진다.
학습할 때는 다음 내용을 중심으로 정리하는 것이 좋다.
- Q1, Q2, Q3의 의미
- Q2와 중앙값의 관계
- Q1과 Q3의 백분위수 관계
- IQR 계산
- IQR을 이용한 이상치 탐지 기준
- 상자 그림의 구성 요소
- 평균과 사분위수의 차이
- 백분위수와 사분위수의 관계
- 사분위수는 데이터를 4등분하는 위치 지표이다.
- Q1은 제1사분위수로 하위 25% 지점이다.
- Q2는 제2사분위수로 중앙값과 같다.
- Q3은 제3사분위수로 하위 75% 지점이다.
- IQR은 Q3 - Q1로 계산한다.
- IQR은 데이터의 가운데 50%가 퍼져 있는 정도를 나타낸다.
- 이상치 탐지에는 Q1 - 1.5 × IQR, Q3 + 1.5 × IQR 기준이 자주 사용된다.
- 상자 그림은 사분위수를 이용해 데이터 분포를 시각화한다.
- 사분위수는 평균보다 극단값의 영향을 덜 받는다.
- 사분위수는 백분위수 중 P25, P50, P75와 대응된다.
